2019年5月28日22:02:0821.5K

什么是数学 对思想和方法的基本研究（第三版） 内容简介

《什么是数学：对思想和方法的基本研究（第3版）》是世界知名的数学科普读物，它搜集了许多经典的数学珍品，对整个数学领域中的基本概念与方法，做了精深而生动的阐述。无论是数学专业人士，或是愿意作数学思考者都可以阅读此书。特别对中学数学教师、大学生和高中生，都是一本极好的参考书。

什么是数学 对思想和方法的基本研究（第三版） 目录

第1章 自然数

引言

1 整数的计算

1．算术的规律

2．整数的表示

3．非十进位制中的计算

2 数系的无限性 数学归纳法

1. 数学归纳法原理

2．等差级数

3．等比级数

4．前n项平方和

5．一个重要的不等式

6．二项式定理

7．再谈数学归纳法

第1章补充 数论

引言

1 素数

1．基本事实

2．素数的分布

2 同余

1．一般概念

2．费马定理

3．二次剩余

3 毕达哥拉斯数和费马大定理

4 欧几里得辗转相除法

1．一般理论

2．在算术基本定理上的应用

3．欧拉函数 再谈费马定理

4．连分数 丢番都方程

第2章 数学中的数系

引言

有理数

1. 作为度量工具的有理数

2．数学内部对有理数的需要推广的原则

3．有理数的几何解释

2 不可公度线段 无理数和极限概念

1．引言

2．十进位小数 无限小数

3．极限无穷等比级数

4．有理数和循环小数

5．用区间套给出无理数的一般定义

6．定义无理数的另一个方法戴特金分割

3 解析几何概述

1．基本原理

2．直线方程和曲线方程

4 无限的数学分析

1．基本概念

2．有理数的可数性和连续统的不可数性

3．康托的“基数”

4．反证法

5．有关无限的悖论

6．数学的基础

5 复数

1．复数的起源

2．复数的几何解释

3. 棣莫弗公式和单位根

4．代数基本定理

6 代数数和超越数

1．定义和存在性

2．柳维尔定理和超越数的构造

第2章 补充集合代数

1．一般理论

2．在数理逻辑中的应用

3．在概率论中的一个应用

第3章 几何作图数域的代数

引言

第1部分 不可能性的证明和代数

……

第4章 射影几何 公理体系 非欧几里得几何

第5章 拓扑学

第6章 函数和极限

第7章 极大与极小

第8章 微积分

第9章 最新进展

参考书目1

参考书目2（推荐阅读）

跋

什么是数学 对思想和方法的基本研究（第三版） 精彩文摘

柯朗和罗宾关于五色定理的证明（见第270页），是取自开姆玻（Arthur Kempe）的工作。开姆玻是一个律师和业余数学家，他在1879年发表文章，声称证明了四色定理。他用的是数学归纳法（见第15～28页）的另一种形式，即所谓存在“最小正规地图”。其基本思想是，若四色定理不成立，那么必存在着需要五种颜色上色的地图，如果这种“糟糕”地图存在，可以把它们以各种不同方式组成更大的地图，使得所有这些地图也都需要五种颜色上色，由于使“糟糕”地图变大的做法没有任何意义，我们可以，从相反的方向着手，去看最小的“糟糕”地图，称它为最小正规地图。由最小自然数原理（见第26页，它等价于数学归纳法）知，若“糟糕”地图存在，那么最小正规地图一定存在，最小正规地图有如下特性：它需要五种颜色上色，但任何区—域数少于它的地图只需四种颜色上色。证明的做法是，通过揭示上述特性，给出最小正规地图的结构，直到最终说明最小正规地图不可能存在。由于产生了矛盾（见第100页的反证法），四色定理一定成立。

开姆玻的思想是，取一个最小正规地图，然后造一个与它相关、但比它小的地图，由于所取的地图是最小正规的，这较小的图是可以用四种颜色上色的。然后，他试图由此说明原来的图也能用四种颜色上色，具体地说，他的做法是，取一个最小正规地图，然后把某个适当的区域缩小，成一个点，这样得到的地图，区域比原来少，可以用四种颜色上色。如果把缩小的区域恢复回来，再找一种颜色给它上色，同时不改变其他区域的颜色，一般来说，这是不可能的。因为，原来与这个缩小的区域相邻的区域，它们之间可能已经用了四种颜色上色。但是，这个缩小的区域，如果是一个三角形，即它只和三个区域相邻，那就不成问题。如果是一个四边形，用一种现在称为“开姆玻链”的巧妙办法交换颜色，可以改变与它相邻区域的颜色，从而也能解决问题，如果是一个五边形，开姆玻宣称，可以用一种类似的办法处理。并且，他证明了，每一个地图必包含一个区域，它要么是三角形，要么是四边形，要么是五边形，因此，总存在一个合适的区域可以被缩小，再恢复。

1890年，黑伍德（Percy Heawood）发现了开姆玻在处理五边形区域时的一个错误。他认识到，把开姆玻的方法做一些修改可以证明，用五种颜色就足够了，多了一种颜色可以使得缩小的五边形很容易恢复，本书第270页给出的就是这一证明。但，另一方面，人们找不到必须要用五种颜色才能上色的地图。

1922年，富兰克林（Philip Franklin）证明了，任何一个不超过26个区域的地图可以用四种颜色上色，他的方法，以及其可约构形的思想，成为最终证明四色定理的基础。一个构形是指，地图中的一组连接着的区域，以及关于每个区域外边有多少个区域和它相邻的信息，为了看到可约性的意义，考虑缩小和恢复一个三角形的例子，把三角形缩小成一个点，假定缩小后的地图（它比原来少了一个区域）能用、四种颜色上色，那么原来的地图也能用四种颜色上色。这因为三角形只和三个区域相邻，当把这三角形恢复后，可把剩下的第四种颜色给它上色。一般说来，给定一个构形，我们考虑：包含它的任意一个地图，如果只要把这构形缩小后得到的地图能用四种颜色上色，这个地图就也能用四种颜色上色，我们称这样的构形为可约的，类似前面的讨论知，四边形是可约的，开姆玻认为五边形也是可约的，但是他错了。